상수 는 탄젠트 곡선의 기울기에서 유도되는 특정한 실수 로 무리수 이자 초월수 이다. 스위스 의 수학자 레온하르트 오일러 의 이름을 따 오일러의 수 로도 불리며, 로그 계산법을 도입한 스코틀랜드 의 수학자 존 네이피어 를 기려 네이피어 상수 라고도 한다. 또한, 는 자연로그 의 밑 이기 때문에 자연상수 라고도 불린다. 는 π, 1, 0, i 등과 함께 수학 의 중요한 상수로 취급된다. 예컨대, 오일러의 공식 에서 그렇다.

e 는 다음의 극한식으로 표현되는 값이다.

e 는 다음과 같이 표현할 수도 있다.

e 는 무리수이기 때문에 십진법 으로 표현할 수 없고 근삿값 만을 추정할 수 있다. 소수로 나타낸 e 의 근삿값은 대략 다음과 같다.

e 가 계산된 최초의 기록은 1618년 존 네이피어 에 의해 발간된 로그표이다. 그러나 네이피어는 로그 계산의 과정에서 나온 결과 값만을 간단히 다루었을 뿐 e 를 상수 로 취급하지는 않았다. 네이피어의 로그는 과 동치이다. 이를 오일러가 정의하여 오늘날까지 사용하고 있는 로그함수 정의로 옮기면 네이피어의 로그는

인 로그함수 이다.

위의 로그에서 사용된 밑은 e 의 역수인 1⁄ e 와 매우 가까운 근삿값이다. 후일 윌리엄 오트리드가 네이피어의 로그표를 사용하여 로그 계산자를 만들었지만 그 역시 e 를 특별한 상수로 취급하지는 않았다. e 가 특정한 상수임을 발견한 사람은 야코프 베르누이 이다. 그는 복리 이자의 계산이 다음과 같은 극한 을 취할 수 있다는 것을 발견하였다.

베르누이는 위의 식이 수렴 한다는 것과 그것이 특정한 값이 된다는 것을 발견하였다. 물론 그 값은 e 이다.

베르누이가 정리한 위의 급수를 처음으로 상수로서 표현한 사람은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 이다. 라이프니츠는 1690년에서 1691년 사이에 크리스티안 하위헌스 에게 쓴 편지에서 이 급수를 “b”로 표현하였다. 한편, 오일러는 1727년에서 1728년 사이에 이 상수를 e 로 표현하여 사용하기 시작하였다. ^[undefined] e 라는 표기가 정식 출판물에 처음 등장한 것은 1736년 출판된 오일러의 《메카니카》이다. 그 이전에는 수학자 마다 여러 알파벳을 사용하여 이 상수를 표기하였으나 《메카니카》의 출판이후 e 로 표기하는 것이 관례가 되었다. ^[undefined]

복리 적금의 원리합계는 다음의 식과 같이 계산할 수 있다.

예를 들어 1,000원을 예금하였을 때의 복리 합계는 이율에 따라 다음과 같이 계산 된다.

위의 식을 이용하면 원리합계가 목표하는 금액이 되기 위해서 얼마의 기간이 필요한 지 계산할 수 있다.

예를 들어 1천원을 복리 5%로 예금할 때 원리합계가 1억원을 넘기 위해서는 236년이 걸린다.

또한, 위의 표를 보면 이율과 기간 사이에 일정한 관계가 있다는 것을 확인할 수 있다.

즉, 일정 기간이 지났을 때의 원리합계는 특정한 비율을 나타내게 된다.

베르누이는 기간이 n 일때 이율을 1⁄ n 이라 하면, 이 원리 합계의 극한이 다음과 같이 네이피어의 로그표에 사용된 밑에 점근 한다는 것을 발견하였다.

1714년 영국의 수학자 로저 코츠는 자연 로그 함수 를 복소수 로 확장할 경우 다음과 같은 삼각함수의 관계식으로 표현될 수 있다는 것을 발견하였다.

1740년 레온하르트 오일러는 이 식을 지수함수로 변형하여 다음과 같이 나타내었다.

이를 오일러의 공식 이라 한다.

오일러의 공식은 복소평면 에서 삼각함수와 지수함수의 관계를 설명하고 있다. 이러한 사실은 복소수 를 복소평면 위의 한 점 으로 표현할 수 있다는 것을 시사한다. 하지만 코츠나 오일러 모두 이러한 발상을 했음에도 불구하고 복소평면을 일반화하지는 않았다. 복소수를 복소평면의 한 점으로 표현하기 시작한 것은 오일러 공식이 발표된 뒤 50여년이 지난 때부터 였다. ^[undefined]

오일러 공식은 테일러 급수 를 통해 유도될 수 있다. ^[undefined] 아래는 오일러 공식의 유도 과정을 소개한 것이다.

절댓값 이 1 보다 작은 어떤 수 x에 대해 다음과 같은 무한 차수 다항식이 성립한다.

삼각함수 역시 위와 같은 조건을 만족하므로 다음과 같은 무한 차수 다항식으로 표기할 수 있다. 삼각함수의 무한 차수 다항식이 실제 무한히 전개된다는 것은 영국의 브룩 테일러가 증명하였기 때문에 이 전개를 흔히 테일러 급수 라고 한다. 사인 함수와 코사인 함수의 테일러 급수는 다음과 같다.

한편 인 지수함수 의 테일러 급수는

이다. 이때, 라 하면 이 테일러 급수의 전개는 다음과 같이 변환될 수 있다.

위 식에서 짝수 차수 항과 홀수 차수 항을 따로 모아 정리하면

가 된다.

위 식을 살펴 보면 실수항은 코사인 함수의 테일러 급수이고 허수항은 사인 함수의 테일러 급수임을 알 수 있다.

따라서, 다음과 같은 오일러 공식 이 성립한다.

이 때, x 에 π 를 대입하면

이 되고, 이를 오일러의 등식 이라 한다.

e 는 대수적 방정식의 해가 될 수 없는 초월수 이다. ^[1] 1873년 프랑스 의 수학자 샤를 에르미트 에 의해 e 가 초월수임이 증명되었다. ^[undefined] e 가 초월수임을 증명하는 방식은 귀류법 에 의한 것으로 만일 e 가 대수적인 수라고 가정하면 다항식을 구성하는 계수가 무한히 약분되는 모순이 생긴다는 것을 보이는 것이다.

또한 e 는 무리수 이기도 하다. 이에 대한 증명은 다음과 같다.

먼저 e 의 테일러 전개는

이 성립한다.

이제 e 를 유리수라 가정하면 양의 정수 p, q 에 대해

가 되어야 한다.

따라서,

이어야 하고 이 부등식의 각 변에 를 곱하면

이 된다.

한편, e = p⁄ q 라 가정하였으므로

이 된다.

이에 따라 q ! e 와 q ! X q 는 양의 정수가 되어야 하므로 역시 양의 정수가 되어야 한다. 그런데 위의 식 (1)에서 는 0보다 크고 1보다 작다고 하였으므로 이는 자연수가 될 수 없다. 따라서 e 는 두 양의 정수의 비, 즉 유리수로 나타낼 수 없는 무리수이다.

e 의 근삿값은 다음과 같은 연분수 의 전개를 통하여 계산할 수 있다.

테일러 전개를 이용한 의 근삿값 계산 결과는 다음과 같다.

를 사용하여 8차항까지 더하면

위 계산은 소수점 아래 4자리까지 유효하다.

계승이 증가함에 따라 역수는 빠르게 에 접근하므로 몇 차례의 계산으로도 에 매우 근접한 근삿값을 구할 수 있다.

한편 인 지수함수 의 테일러 급수는

이다.

e 는 함수 의 미분 과 적분 에서 특별하게 취급된다. e 에 대한 임의 차원의 지수함수인 는 이를 미분한 도함수 가 다시 자기 자신이 되는 함수이다. 또한, 곡선 에 대한 에서 까지 아래 넓이는 e 이다.

먼저 의 미분을 보면,

이다. 이에 대한 증명은 다음과 같은 계산을 통해 확인할 수 있다.

한편 오른쪽 그림과 같은 의 그래프 에서 에서 까지 아래 넓이는,

e 를 밑으로 하는 로그 인 자연로그는 여러 분야에 두루 쓰인다. 로그함수는 정의에 의해 여러 밑을 가질 수 있지만, 일반적으로 밑을 따로 표기하지 않은 는 자연로그를 뜻했다. 하지만 상용로그 와 헷갈리는 문제 때문에 현재는 로 표기한다. 로그함수 의 도함수는 이다. 즉,

이고,

이다. 이는 e 를 밑으로 한 자연로그의 가장 큰 특징으로 지수가 등차적으로 증가할 때 로그곡선의 기울기는 등비적으로 감소한다는 의미가 된다.

e 를 밑으로 하는 자연로그는 여러가지 증정도과 밀접한 관련을 보인다. 대표적인 것으로는 자연수 에서 주어진 수가 충분히 클때 1에서 부터 주어진 수까지의 소수 의 개수는 로그함수에 점근 한다는 소수 정리 가 있다. 리만 가설 에서 출발한 이 정리는 1896년 프랑스의 자크 아다마르 와 벨기에의 발레 푸생이 서로 독자적인 연구를 통하여 증명하였다.

이외에도 자연로그는 물리 와 화학 등 여러 자연 과학의 변화량에서 사용된다. 다음은 자연로그가 자연 과학에 사용된 예이다.

e 와 연관된 여러 문제가 아직 해결되지 않았다. 대표적인 문제로는 오일러-마스케로니 상수 γ 가 무리수나 초월수인지를 밝히는 것인데, 아직까지 증명되지 않고 있다. γ 는 조화 급수와 자연로그의 차에 대한 극한으로 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

e 의 소수 아래 첫 500자리는 아래와 같다. (줄당 125자리)